Gas Nyata: Persamaan Virial dan Van Der Waals

Yo semuaa, kali ini saya akan bahas mengenai persamaan gas nyata. Kenapa bahas gas nyata? Biar kalian ga tahunya gas ideal doang, $\ce {PV = nRT}$. Repot kalau kalian hanya tahu persamaan gas ideal doang, apalagi kalau Pelatnas. Sebelumnya, tentu kalian harus tahu siap menghadapi kenyataan: materi ini banyak matematikanya!

Saya asumsikan anda sudah paham apa itu gas ideal. Gas ideal adalah gas yang tidak ada. Tidak nyata. Ilusi. Fantasi. Persamaan gas ideal sangat banyak ‘disalahgunakan’ karena memang kenyataannya mudah dan menyenangkan, ibarat wibu mendelusikan waifunya… Eh ngomong apa saya barusan?! Lawan dari gas ideal… tentu saja gas tidak ideal. Gas yang tidak ideal ini akan kita sebut sebagai gas nyata.

Gas Nyata?

Apa yang menyebabkan suatu gas tidak bisa jadi ideal? Dari ciri-ciri gas ideal, tentu anda sudah bisa mengerti mengapa gas tidak bisa menjadi ideal. Ya, tentu antara partikel gas selalu ada gaya tarik-menarik atau gaya tolak-menolak. Ada pola umum dari gaya antar partikel ini, yaitu pada tekanan tinggi, gaya tolak-menolak akan dominan, karena jarak antar partikelnya kecil. Bagaimana dengan gaya tarik-menarik? Gaya tarik-menarik akan dominan apabila jarak antar partikelnya tidak terlalu jauh atau terlalu dekat. Ini terjadi saat tekanan gas tidak terlalu dekat, dan tidak terlalu jauh. Lantas bagaimana apabila tekanan gas sangat rendah? Apabila tekanan gas sangat rendah, jarak antar partikel akan menjadi sangat jauh yang berakibat gas nyata memiliki sifat seperti gas ideal.

Gaya antar partikel akan mempengaruhi nilai Kompresibilitas. Pada tekanan sedang, gaya antar molekul yang dominan adalah tarik-menarik, sehingga dikatakan bahwa gasnya akan lebih mudah dikompres. Pada tekanan tinggi, gasnya akan lebih sukar dikompres karena adanya gaya tolak-menolak. Kompresibilitas untuk gas ideal nilainya selalu sama dan tidak akan berubah.

Persamaan Gas Nyata Virial

Nah ini dia momoknya anak Pelatnas 😆 persamaan ini sering dipelesetkan jadi “viral” dan seringkali diviralkan karena anak Pelatnas 100% bingung sama apa yang diajarkan dosen… Lebih sering materi ini dijadikan sebagai bahan bercandaan daripada dipelajari secara serius Sebenarnya banyak sih persamaan gas ideal selain Virial dan van der Waals, tetapi cuma 2 ini yang keluar di Pelatnas dan lomba2 umumnya, jadi ini aja yang saya keluarkan mhamhanx…

Persamaan Gas Nyata Virial banyak berhubungan dengan nilai faktor kompresi (Z). Faktor kompresi adalah rasio volume molar (volume tiap satuan mol) gas nyata terhadap rasio volume molar gas ideal. Faktor kompresi berbanding terbalik dengan kompresibilitas. Nilai faktor kompresi gas ideal selalu sama dengan 1. Volume molar gas ideal adalah:

$\ {V_{m(ideal)} = \frac{RT}{P}}$

Sehingga kita dapatkan persamaan untuk faktor kompresi yaitu:

$\ {Z = \frac{V_{m(nyata)}}{V_{m(ideal)}} = \frac{PV_{m(nyata)}}{RT} }$

Sadar atau tidak, ada beberapa soal OSK yang mengeluarkan gambar kurva faktor kompresi terhadap nilai tekanan. Misalnya saja, diambil dari OSK 2016:

Hehe, bahas sebentar deh…

Nah, di soal tersebut merupakan diagram Z terhadap P sebenarnya. Intermezzo sebentar deh, kita bahas soalnya. Mengapa jawabannya ammonia? Alasannya ada 2. Yang pertama, nilai Z ammonia akan sangat rendah saat tekanannya sedang (kompresibilitas sangat tinggi) karena gaya tarikan sangat kuat (ikatan hidrogen). Namun, pada tekanan yang tinggi, nilai Z nya akan paling tinggi (kompresibilitas sangat rendah) karena tolakan pasangan elektron bebas. Dikatakan, penyimpangan nilai Z ammonia adalah yang paling besar (paling tidak ideal).

Kembali ke pembahasan Persamaan Gas Nyata Virial, sebenarnya tidak banyak yang perlu dipelajari peserta Pelatnas. Pertama, percayalah sama saya (unboxing rahasia Pelatnas nih, wkwk), kalian akan diminta menunjukkan hubungan antara 2 Persamaan Virial berikut:

(1). $\ {Z = \frac{PV_m}{RT} = 1 + \frac{B}{V_m} + \frac{C}{V_m^2} + … }$

Dengan Persamaan berikut:

(2). $\ {Z = \frac{PV_m}{RT} = 1 + B’P + C’P^2 + … }$

Anda harus menentukan apa hubungan B terhadap B’ dan C terhadap C’ pada deret tak hingga tersebut. Cecupu seperti saya, pada awalnya hanya bisa tercengang dan termangu mendengar apa yang diperintahkan untuk dikerjakan 😥 Woke, mari kita bahas di mari mhanx!

Menelaah Hubungan Koefisien Virial

Pertama, kita harus tahu bahwa nilai koefisien Virial akan selalu mengecil. Koefisien virial yang pertama adalah 1, kedua yaitu B’P dan seterusnya. Biasanya, kita hanya memperhitungkan 3 koefisien virial yang pertama karena koefisien virial selanjutnya bisa diabaikan.

Pertama, kita tuliskan persamaan (1) dalam bentuk P:

$\ {P = \frac{RT}{V_m} (1 + \frac{B}{V_m} + \frac{C}{V_m^2} + … ) }$

Masukkan saja:

$\ {P = \frac{RT}{V_m} + \frac{BRT}{V_m^2} + \frac{CRT}{V_m^3} + … }$

Selanjutnya, mari kita bikin kuadrat dari P nya, ingat aljabar berikut:

$\ {(a+b+c+…)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc + … }$

Jadi apabila P dikuadratkan:

$\ {P^2 = \frac{(RT)^2}{V_m^2} + \frac{2BR^2T^2}{V_m^3} + … }$

Ingat pada asumsi di awal, biasanya kita hanya memperhitungkan 3 koefisien Virial yang pertama. Kita juga membatasi penyebut hingga $\ {V_m^2}$ saja. Masukkan nilai $\ {P}$ dan $\ {P^2}$ pada persamaan Virial kedua:

$\ {\frac{PV_m}{RT} = 1 + B’\left(\frac{RT}{V_m} + \frac{BRT}{V_m^2}\right) + C’\left(\frac{(RT)^2}{V_m^2}\right) + … }$

Kelompokkan berdasarkan penyebutnya:

$\ {\frac{PV_m}{RT} = 1 + \frac{B’RT}{V_m} +\frac{B’BRT + C'(RT)^2}{V_m^2} + … }$

Dari sini nampak sebuah hubungan:

(i). $\ {B = B’RT}$

(ii). $\ {C = B’BRT + C'(RT)^2 = (B’^2 + C’)(RT)^2}$

Atau bisa juga ditulis seperti berikoet:

(i). $\ {B’ = \frac{B}{RT}}$

(ii). $\ {C’ = \frac{C – B^2}{(RT)^2}}$

Selesai! Persamaan Virial ini sering dijadikan ‘mainan’ oleh anak-anak Pelatnas 2 dengan kreatif, misalnya soal Tes Mandiri Pelatnas II keluaran Dewa KimFis Rizki Kurniawan (Featured Image, belum saya keluarkan, hehe), ada juga karya Mubarok Alfa Rizqi, dengan deret-deret yang aneh-aneh.

Kedua, yang harus anda tahu, nilai Z bergantung pada temperatur. Kok bisa? Karena nilai B, C, dan seterusnya bergantung pada suhu juga. Salah satu hal yang penting anda tahu adalah Temperatur Boyle. Temperatur Boyle adalah temperatur saat faktor kompresi gas selalu lebih besar atau sama dengan 1, digambarkan oleh kurva berikut (sumber: Atkins):

Persamaan Gas Nyata van der Waals

Banyak dari kita yang sudah pernah dengar dan mungkin sedikit membaca mengenai Gas van der Waals. Tidak jarang juga yang kaget membaca namanya, disangka pemenang AGT 2016 h3h3h3 (Remember last year when you told me, to always stay here and never leave me, the light from your eyes, made it feel like we were dancing in the moonlight!). Persamaan gas van der Waals (menurut saya) jauh lebih ‘tradisional’ daripada Virial, dan lebih mudah. Persamaan ini sedikit ‘memodifikasi’ persamaan gas ideal dengan menambahkan faktor koreksi tekanan dan volume. Mungkin kalian pernah sekilas lihat persamaan ini:

$\ {P = \frac{nRT}{V – nb} – a \left(\frac{n}{V}\right)^2}$

Atau bentuk lainnya:

$\ {\left(P + \frac{an^2}{V^2}\right) (V – nb) = nRT}$

Parameter b

Pertama mari kita simak satu-satu: Apa itu parameter ‘a’ dan ‘b’? Lebih mudah kita mulai dari yang b dulu saja. Parameter b adalah koreksi terhadap Volume. Partikel gas bukanlah suatu titik, melainkan menempati ruang, sehingga dalam satu ruang, b adalah volume tiap satuan mol yang ditempati oleh molekul. Parameter b ini sama dengan parameter B pada persamaan Virial, dimana C dan seterusnya diabaikan. Nah, apa buktinya kalau sama? Mari kita buktikan, misalnya kita hanya mengkoreksi volume, maka:

$\ {P(V_m – b) = RT}$

Jabarkan dan pindah, didapatkan:

$\ {PV_m = RT + Pb}$

Bagi kedua sisi dengan RT:

$\ {\frac{PV_m}{RT} = 1 + \frac{b}{RT} P}$

Terlihat bukan, bahwa b pada van der Waals sama dengan B pada virial apabila C dan seterusnya diabaikan? Tapi, itu apabila yang koreksi hanyalah volume gas. Apabila yang dikoreksi adalah volume dan tekanan (dengan parameter a terlibat), akan didapatkan persamaan Virial yang agak berbeda, dan anda perlu pengetahuan mengenai deret Maclaurin. Itu tidak akan dibahas di post ini karena ga keluar di Pelatnas 😀

Parameter b sendiri ini seringkali ‘diperkirakan’ nilainya dengan perkiraan kasar. Dimisalkan partikel gas adalah bola sempurna dengan jarak 2 bola adalah r, volume gas akan berkurang kira-kira sebesar setengah kali volume yang ditempati bola ber-radius 2r, sehingga:

$\ {b \approx \frac{1}{2} \frac{4}{3}\pi (2r)^3 N_A \approx 4 V_{molecule} N_A}$

Parameter a

Nah, sekarang kita bahas apa itu parameter a. Jika parameter b bicara masalah ‘tolakan’, parameter a bicara soal tarikan. Besarnya nilai tekanan bergantung pada tumbukan antar molekul dan tumbukan dengan dinding, keduanya proporsional dengan konsentrasi molar gas (n/V). Oleh karena keduanya berkurang karena ‘tarikan’ antar molekul gas, maka besarnya nilai pengurangan ini berbanding lurus dengan kuadrat konsentrasi molar, sehingga muncullah koreksi $\ {- \frac{an^2}{V^2}}$. Setelah dua faktor koreksi ini digabung, dapatlah kita persamaan van der Waals!

Kurva Isoterm

Now here’s the important part: Apa sih gunanya persamaan van der Waals dan bagaimana nilai a dan b untuk tiap gas didapatkan? Anda akan menemukan jawabannya, namun sebelum itu anda perlu memahami kurva isoterm. Di SMA mungkin anda pernah lihat diagram fasa. Di sana ada 3 wujud zat, garis lengkung, titik pertemuan garis-garis itu. Berikut ini adalah contoh diagram fasa…

… Materi spesifik mengenai diagram fasa, akan saya bahas lain waktu. Ada yang menarik, yang mungkin kalian tidak pernah pelajari di SMA, yaitu titik kritis. Titik kritis adalah titik di mana gas dan liquid, sudah tidak bisa dibedakan lagi, atau sering disebut sebagai fluida superkritis. Fluida semacam itu dapat dijelaskan oleh kurva isoterm:

Kurva ini menghubungkan nilai tekanan terhadap volume pada suhu konstan. Garis-garis yang didapat diperoleh dari suhu yang berbeda-beda. Kurva ini terlihat aneh, bukan? Terdapat “loops”. Apa itu loops? Perhatikan gambar berikut:Cukup aneh, ada daerah di mana ketika tekanan naik, volume ikut naik. Jelas ini tidak realistis, karena tekanan akan berbanding terbalik dengan volume. Pada daerah di mana ada loops ini, digambarkan suatu daerah di mana ada liquid dan gas yang berada dalam kesetimbangan (lihat diagram fasa, garis biru). Kurva isoterm hasil eksperimen, memiliki 3 daerah, yaitu liquid, gas, dan liquid + gas. Loops dihilangkan, diganti garis putus-putus di mana gas dan liquid berada dalam kesetimbangan.

Sifat titik kritis

Titik puncak (ditandai huruf c) pada daerah liquid + gas adalah titik kritis, saat dimana liquid dan gas sudah tidak bisa dibedakan lagi. Ini terjadi saat $\ {V_c}$, $\ {P_c}$, dan $\ {T_c}$. Titik c memiliki 2 sifat, yaitu horizontal dan merupakan titik balik fungsi. Berdasarkan ilmu matematika, dari 2 sifat ini diperoleh 2 hubungan:

(1). $\ {\left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)_{T = T_c} = 0}$

(2). $\ {\left(\frac{\partial^2 P}{\partial^2 V}\right)_{T = T_c} = 0}$

Selanjutnya adalah tugas kalian untuk menentukan a dan b dengan rumus van der Waals ini:

$\ {\displaystyle {P_c = \frac{RT_c}{\overline V_c – b} – \left(\frac{a}{\overline V_c}\right)^2}}$

Turunkan rumus van der Waals tersebut, dengan 2 sifat yang sudah diberikan, lalu tentukan nilai a dan b. Apabila penurunan anda benar, anda akan dapat:

$\ {a = \frac{9}{8} RT_c\overline V_c}$

$\ {b = \frac{\overline V_c}{3}}$

Bingung? Ayo ke Forum Olimpiade Sains Nasional! Bonus: beberapa persamaan gas nyata:

Sekian~